الحل الفعال لجمل المعادلات الخطية التي معاملاتها مصفوفات محدودة

الملخص

الهدف من هذا البحث هو دراسة مسألة حل جمل المعادلات الخطية التي معاملاتها مصفوفات محدودة مربعة من المرتبة. تظهر هذه الأنواع من جمل المعادلات في العديد من مجالات الرياضيات التطبيقية و في نظرية التحكم و تحليل الاهتزازات و في الفيزياء و الهندسة.

نحاول في هذه المقالة أن نصف خوارزميات فعالة لحل النوع المدروس من جمل المعادلات بحيث نحافظ على العناصر اللاصفرية الأصلية في مصفوفة الأمثال لنحصل بالنتيجة على جملة معادلات خطية سهلة الحل أكثر من الجملة الأصلية. تعتمد الخوارزميات المقترحة على الأفكار:

1. إيجاد بنية لاصفرية جديدة للمصفوفة المحدودة بحيث يمكن تطبيق طريقة التحليل لنحصل على مصفوفة جديدة لا تحوي عناصر لاصفرية إضافية هي بالأصل عناصر صفرية في المصفوفة المحدودة .
2. تجزئة المصفوفة الحدودية إلى مصفوفة كتلية مربعة من المرتبة الثانية سهلة الحل و لا تتضمن عناصر لاصفرية إضافية باستثناء العناصر اللاصفرية للمصفوفة المحدودة.

In this paper, we consider the problem of solving linear equations systems whose coefficients matrices are bordered and square of order. Such systems appear in several applications of applied mathematics, control theory and oscillations analysis, physics and engineering. We describe efficient algorithms to solve such systems such that no extra nonzeros in the bordered matrix to obtain linear system of equations to solve easier than the original system. The proposed algorithms depend on the ideas:

1. 1. Finding new sparsity structure of the ordered matrix such that we can apply the factorization method to obtain new matrix that does not contain extra nonzeros.
2. 2. Portioning the matrix into block matrix of order 2 easier to solve and no including extra nonzero elements containing no nonzero elements of bordered matrix.