التحدب الإحداثي واجتماع أربع مجموعات نجمية في

الملخص

يقال عن مجموعة  في الفضاء الإقليدي ثلاثي البعد إنها محدبة إحداثياً، إذا وفقط إذا كان تقاطع أيِّ مستقيم موازٍ لأيٍّ من المحاور الإحداثية  مع المجموعة عبارة عن مجموعة محدبة. ويقال عن مجموعة  في الفضاء الإقليدي ثلاثي البعد أيضاً إنها مجموعة نجميّة إذا وفقط إذا وجدت نقطة  في هذه المجموعة بحيث تكون جميع القطع المستقيمة  من أجل كل  من واقعة في ( أي أن جميع نقاط المجموعة  تكون مرئية من النقطة  ضمن )  وعندئذ يقال عن هذه المجموعة إنها نجميّة بالنسبة للنقطة .

في هذا البحث سوف نبرهن النظرية الآتية:

" إذا كانت  Aمجموعة متراصّة ومحدّبة إحداثياً في الفضاء الإقليدي ثلاثي البعد عندئذ: تكون المجموعة A اجتماعاً لأربع مجموعات نجمية  إذا وفقط إذا وجد في A أربع نقاط  12 a,b,c,d"> بحيث تكون كلّ نقطة جبهية لـA مرئية ضمن A من إحدى هذه النقاط على الأقلّ".

Let A be a set in R³. A is called a coordinate convex set ,if and only if ,any parallel line to any coordinate axes oX ,oY ,oZ was intersected with A is convex set . A is called a starshaped set   ,  if and only if ,a point existed in A as (a) ,so that ,every line segment[a,x]  for all xÎA lies in A,(it means every point in A was visible via A from a) in this case  this set is starshaped with respect to   (a) .

In this research we will prove the following theorem:

" If the set A is compact and coordinate convex set in R³ then: The set A is union of  four starshaped sets ,if and only if ,it existed four points in the set A as  ,so that , each boundary point of A will be visible via A from one of the points at least