العلاقة بين المجموعات المحدبة إحداثياً والمجموعات النجمية في

الملخص

يقال عن مجموعة  في الفضاء الإقليدي ثلاثي البعد  إنها محدبة إحداثياً إذا وفقط إذا كان تقاطع أيِّ مستقيم موازٍ لأيٍّ من المحاور الإحداثية مع المجموعة عبارة عن مجموعة محدبة.

ويقال عن مجموعة في الفضاء الإقليدي ثلاثي البعد  أيضاً إنها مجموعة نجمية إذا وفقط إذا وجدت نقطة  في هذه المجموعة حيث تكون جميع القطع المستقيمة  من أجل كل  من  واقعة في وعندئذ يقال عن هذه المجموعة إنها نجمية بالنسبة للنقطة ,وإن جميع نقاط المجموعة  مرئية ضمن  من النقطة .

في هذا البحث سوف نبرهن مجموعة من المبرهنات والنتائج من أهمها:

1. إذا كانت  مجموعة محدبة إحداثياً في الفضاء الإقليدي ثلاثي البعد  عندئذ تكون المجموعة اجتماعاً لست مجموعات نجمية إذا و فقط إذا وجد في  ست نقاط   حيث تكون كل نقطة من  مرئية ضمن  من إحدى النقاط  على الأقل.

2. كل مجموعة محدبة هي مجموعة  محدبة إحداثياً، ولكن العكس غير صحيح بصورة عامة.

3.  ليس من الضروري أن تكون كل مجموعة محدبة إحداثيا ً مجموعة نجمية بالنسبة لنقطة ما.

Let A be a set in R³. A is said to be a coordinate convex set if and only if any parallel line to any coordinate axes oX , oY , oZ  was intersected with A is convex set A is called a star-shaped set, if and only if ,there exists a points in A as (a) ,such that ,every line segment[a, x]  for all xÎA lies in A, in this case  this set is star-shaped with respect to   (a) ,and every point in A was visible via A from a.

In this paper we will prove a set of theorems, some of which are:

1) -If the set A is coordinate convex in the Euclidean space (R³) then:  The set A is union of six star-shaped sets, if and only if, there exists a point in the set A six points as a, b, c, d, e, f  , so that , each point in A would  be visible via A from  a, b , c, d, e, f    at least  .

2)-Each convex set is coordinate convex set, but the opposite in general is not true

3) –It is not necessary for each coordinate convex to be a star-shaped set.